（平面）极坐标是什么？

给大家介绍一下对于物理系学生来说非常重要的平面极坐标系。请看下图：

如上图所示， \vec{r^{o}} 是径向单位矢量（角标0指的是0次方，个人觉得0次方很直观得说明“单位”二字）， \vec{\theta^{o}} 是角向[1]单位矢量。单位矢量的定义是矢量除以自身的模，例如 \vec{r^{o}}=\frac{\vec{r}}{r} ，因此重要的是它所指的方向。

\vec{r^{o}} 的等价记号有 \vec{e_{r}} 、 \hat r （叫法： r 帽，即r的头上有个 \hat{} ，像个帽子， \LaTeX 公式是\hat）

\vec{\theta^{o}}的等价记号有 \vec{e_{\theta}} 、 \hat \theta (叫法： \theta 帽）

回到平面极坐标的介绍，我们先直观地理解一下，说说你在上图看到了什么特征？

从上面的图我们可以看到，随着质点位置的变化（ P 到 P1 ），\vec{r^{o}}和\vec{\theta^{o}}各自的方向也在变化。不变的是它们之间的夹角始终为直角，各自的长度始终是单位长度。可以说，\vec{\theta^{o}}是由\vec{r^{o}}逆时针旋转90°得来的，即两者相互正交。你也可以说，\vec{r^{o}}指向 r 增加最快的方向， \vec{\theta^{o}}指向 \theta 增加最快的方向。平面极坐标相当于是 z 轴缩成一点的柱坐标，也相当于仰角始终为 \frac{\pi}{2} 的球坐标。

平面极坐标系下位矢的表示非常简单： \vec r=r\hat r 有了位矢，就能通过对位矢求一阶、二阶导分别得到速度和加速度：（需要注意的是：外文文献经常用圆点表示对时间的导数，如 \dot r 、 \ddot r 分别表示速度 \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} 和加速度 \frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}} ，顶上有 k 个点就是位置函数对时间求 k 阶导数，亲测公式编辑器最多只能打出四个点（ k\leq4 ），效果是 \ddddot r ，LaTex公式：\dot r, \ddot r, \dddot r, \ddddot r ）

\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=\frac { d ( r \hat { r } ) } { d t } = \dot r\hat { r } + r \frac { d \hat { r } } { d t } \quad(其中d(r\hat r)用到了乘法的求导法则)

\begin{split}\vec a &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}( \frac { \mathrm{d} r } { \mathrm{d} t } \hat { r } + r \frac { \mathrm{d} \hat { r } } { \mathrm{d} t }) \\ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}( \frac { \mathrm{d} r } { \mathrm{d} t } \hat { r } )+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r \frac { \mathrm{d} \hat { r } } { \mathrm{d} t })\quad (用到了加法的求导法则)\\ &=\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}\hat r+\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\hat r}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\hat r}{\mathrm{d}t}+r\frac{\mathrm{d}^{2}\hat r}{\mathrm{d}t^{2}}\quad (用到了乘法的求导法则) \\ &=\ddot r\hat r+2\dot r\frac{\mathrm{d}\hat r}{\mathrm{d}t}+r\frac{\mathrm{d}^{2}\hat r}{\mathrm{d}t^{2}}\end{split}

强行求导之后，问题出现了， \frac{\mathrm{d}\hat r}{\mathrm{d}t} 以及 \frac{\mathrm{d}^{2}\hat r}{\mathrm{d}t^{2}} 是什么？ \hat r 和 \hat \theta 这一对基矢量存在的意义就是指明方向，所以我姑且称之为方向矢量，那么对方向矢量求一阶导和二阶导是什么含义？

下面我们将通过数学语言，由形象的几何推导到严格的代数推导，去探讨d\hat r和 d\hat \theta的物理意义。代数推导比较简洁，读者也可以直接跳转到下一节。

我们首先用形象的几何方式（还有量纲分析）推导一下。由于矢量可以随意平移，我把前面图中的 P1 点的两个基矢量移到 P点，使得四个单位基矢量起点相同，如上图所示，由于四个单位基矢量模长都是一单位长度，那么我们可以把四个基矢量的终点放在同一个圆上。可以设想一下，如果前面的图中P1点非常接近 P 点，那么这里的 \Delta\hat r 和 \Delta\hat{\theta} 就会非常小，可以分别近似等于 {\stackrel{{\mbox{$\Large{\frown}$}}}{A_{p}A_{p1}}} 和 {\stackrel{{\mbox{$\Large{\frown}$}}}{B_{p}B_{p1}}} ，当P1点无限接近 P 点时，\Delta\hat r 和 \Delta\hat{\theta}就可以写成 \mathrm{d}\hat r 和 \mathrm{d}\hat{\theta}

下面我们先推导 \mathrm{d} \hat r ：（看下面这张图）

显然有： \mathrm{d} \vec{e_{r}} =\mathrm{d}\theta \cdot \vec{e_{\theta}} 或者 \mathrm{d} \hat r=\mathrm{d}\theta \cdot \hat{\theta}

一，有点量纲法的味道的理解方式：这里的 \mathrm{d}\theta\cdot\vec{e_{\theta}} 比较难理解，弧度 \theta 表示的是弧长除以半径，因此量纲为 1 ，\mathrm{d}\theta 表示弧度微元，因此也具有弧度的量纲， \vec{e_{r}} ,\vec{e_{\theta}} 是笛卡尔坐标系的基矢量，因此具有长度的量纲， \mathrm{d}\vec{e_{r}} ,\mathrm{d}\vec{e_{\theta}} 表示基矢微元，因此也具有长度的量纲。

因为弧度微元是弧长微元除以半径，由上图可知，半径可以取为 |\hat{r}| ，于是有\mathrm{d}\theta=\frac{\mathrm{d}s}{|\hat{r}|} ，代入上面的式子有 \mathrm{d} \vec{e_{r}} =\frac{\mathrm{d}s}{|\hat{r}|} \cdot \vec{e_{\theta}} 你可以把等式右边 \frac{\mathrm{d}s}{|\hat{r}|} \cdot \vec{e_{\theta}} 看成是：

\frac{无限小的一段弧长\mathrm{d}s}{单位半径|\hat{r}|}\cdot角向基矢量\vec{e_{\theta}}=无限小的一段弧长\mathrm{d}s \cdot\frac{角向基矢量\vec{e_{\theta}}}{单位半径|\hat{r}|} 在这里“角向基矢量\vec{e_{\theta}} ”的模[2] \left| \vec{e_{\theta}} \right| 正好等于“单位半径”等于1，前者除以后者的结果依然[3]是一个单位方向矢量，乘以标量“无限小的一段弧长”相当于是为这个标量指明方向：角向 。

二，线速度（矢量）的理解方式：由于位矢求一阶导得到的是速度，因此你也可以这么理解，对于一个单位矢量 \vec{ r^{o}} ，它的终点的速度的方向( 即\vec{V_{r^{o}}}=\frac{\mathrm{d}\vec {r^{o}}}{\mathrm{d}t} 的方向)，必然是和\vec{ r^{o}} 绕着它的起点逆时针转动 90 度得到的 \vec {\theta^{o}} 相同或者相反方向，即 \vec {V_{r^{o}}} 与 \vec {\theta^{o}} 平行，而大小正好等于矢量 \vec {\theta^{o}} 模长乘以角速度： \left| \vec {\theta^{o}} \right|\omega，至于这里为什么扯上了角速度，值得读者自行思考，请读者尝试把 \omega=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} 代入 \left| \vec{V_{\theta^{o}}} \right|=\left| \vec{r^{o}} \right|\omega 中验证一下 \mathrm{d}\vec{r^{o}}=\mathrm{d}\theta \cdot \vec{\theta^{o}} （提示： \mathrm{d}t 能消掉） (这里混用了符号，考考你能否识别，如果能，恭喜你，否则的话，请翻到上面相应位置复习一下)

我们再来类似地推导 \mathrm{d} \hat \theta ：（看下面这张图）

显然有： \mathrm{d} \vec{e_{\theta}} =-\mathrm{d}\theta \cdot \vec{e_{r}} 或者 \mathrm{d} \hat \theta=-\mathrm{d}\theta \cdot \hat r

一，有点量纲法的味道的理解方式：这里的 -\mathrm{d}\theta \cdot \vec{e_{r}} 比较难理解，弧度 \theta 表示的是弧长除以半径，因此量纲为 1 ，\mathrm{d}\theta 表示弧度微元，因此也具有弧度的量纲， \vec{e_{r}} ,\vec{e_{\theta}} 是基矢量，具有长度的量纲，\mathrm{d}\vec{e_{r}} ,\mathrm{d}\vec{e_{\theta}} 表示基矢微元，因此也具有长度的量纲。

因为弧度微元是弧长微元除以半径，由上图可知，半径可以取为 |\hat{\theta}| ，于是有\mathrm{d}\theta=\frac{\mathrm{d}s}{|\hat{\theta}|} [4]，代入上面的式子有 \mathrm{d} \vec{e_{\theta}} =-\frac{\mathrm{d}s}{|\hat{\theta}|}\cdot \vec{e_{r}} 你可以把等式右边 -\frac{\mathrm{d}s}{|\hat{\theta}|}\cdot \vec{e_{r}} 看成是：\frac{\text{无限小的一段弧长}\mathrm{d}s}{单位半径|\hat{\theta}|}\cdot径向基矢量\vec{e_{r}}=无限小的一段弧长\mathrm{d}s\cdot\frac{径向基矢量\vec{e_{r}}}{单位半径|\hat{\theta}|}

在这里“径向单位矢量 \vec{e_{r}} ”的模 \left| \vec{e_{r}} \right| 正好等于“单位半径”，前者除以后者的结果依然[5]是一个单位方向矢量，乘以标量“无限小的一段弧长”相当于是为这个标量指明方向：径向，更准确地说是指 P 点的径向单位矢量 \hat r 的相反方向，因此带上负号 。

二，线速度（矢量）的理解方式：由于位矢求一阶导得到的是速度，因此你也可以这么理解，若一个单位矢量 \vec{ r^{o}} 绕着它的起点逆时针转动 90 度得到 \vec {\theta^{o}} ，那么 \vec {\theta^{o}} 的终点的速度的方向( 即\vec{V_{_{\theta^{o}}}}=\frac{\mathrm{d}\vec {\theta^{o}}}{\mathrm{d}t} 的方向)，必然是和 \vec {r^{o}} 相同或者相反方向，即 \vec{V_{_{\theta^{o}}}} 与 \vec {r^{o}} 平行，而大小等于矢量 \vec{r^{o}} 模长乘以角速度 \left| \vec{r^{o}} \right|\omega ，至于这里为什么扯上了角速度，值得读者自行思考，请读者尝试把 \omega=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} 代入 \left| \vec{V_{_{\theta^{o}}}} \right|=\left| \vec{r^{o}} \right|\omega 中验证一下（提示： \mathrm{d}t 能消掉） (这里混用了符号，考考你能否识别，如果能，恭喜你，否则的话，请翻到上面相应位置复习一下)

形象的几何推导告一段落了，下面我们要进行严格的代数推导，从而更好地理解\mathrm{d}\hat r和 \mathrm{d}\hat{\theta}的物理意义。

我们可以将平面极坐标里的两个“变幻莫测”的基矢量 \hat r 和 \hat \theta用两个“永恒不变”的量 r 和 \theta 来描述，为什么可以这样？我们来回想一下，基矢量\hat r 总是以质点的位置作为起点，沿着半径指向外，而基矢量 \hat \theta 又是由 \hat r 逆时针旋转 90° 得到的，因此我用“变幻莫测”来形容随质点位置变化，方向也跟着变化的基矢量\hat r 和 \hat \theta，我们也发现极轴 r 总是指向一个方向，不受质点位置的影响，而 \theta 又可以说是由 r 逆时针旋转 90° 得到的，因此我用“永恒不变”来形容 r 和 \theta 。与分别在x、y轴方向建立基矢量 \hat i 和 \hat j 的直角坐标系不同的是，平面极坐标系中的 \hat r 和 \hat \theta 都是关于坐标 r和\theta 的函数，即 \hat { r } = \hat { r } ( r , \theta ) ， \hat { \theta } = \hat { \theta } ( r , \theta ) ，为了更容易理解这句话，你可以把平面极坐标系中 r和\theta 比作直角坐标系中的 x和y ，把平面极坐标系中的 \hat r 和 \hat \theta 比作直角坐标系中的单位圆上的两个点的位矢，想要在直角坐标系中描述位矢，得分别在x、y轴方向建立基矢量 \hat i 和 \hat j ，位矢 \vec r=x\hat i +y\hat j ，和直角坐标系一样，我们也需要在平面极坐标系中建立基矢量，在平面极坐标系建立基矢量就得严格遵循极坐标的规则，我们可以令极轴 r 方向的单位矢量为 \hat x ， 再令 \hat x 逆时针旋转 90° 得到的矢量为 \hat y ，假设 \hat r 与 \hat x 的夹角为 \theta ，显然 \hat \theta 与 \hat y 的夹角也为 \theta ，则有

类似于直角坐标系中位矢对 x、y 求偏导， \hat r、\hat \theta 对坐标的偏导如下：

有了前面形象的几何推导，相信这就更容易理解了，若一个单位矢量 \vec r 绕着它的起点逆时针转动 90 度得到 \vec \theta ，那么它的终点的速度的方向( 即\frac{\mathrm{d}\vec \theta}{\mathrm{d}t} 的方向)，必然是 \vec r 的反方向， 而大小等于矢量 \vec r 模长乘以角速度 \left| \vec r \right|\omega

由于\hat r 与 \hat\theta都是单位矢量，即 r 不影响 \hat r 与 \hat\theta，从表达式我们也能看出，\hat r 与 \hat\theta的表达式里不包含 r ，从 \hat r 与 \hat\theta对 r 求偏导的结果为0，也能得出同样的结论，因此，可以把 \hat r 与 \hat\theta 看成只是 \theta 的函数，把偏导符号改成导数符号：

\frac { \mathrm{d} \hat { \theta } } { \mathrm{d} \theta } = - \hat { r } （1）

\quad \frac {\mathrm{d} \hat { r } } {\mathrm{d} \theta } = \hat { \theta } （2）

到这里，我们已经解决了方向矢量求导的问题，得到了上面这两个非常重要的式子，请读者务必要会推导并且牢记，其他复杂的推导都能拆解成上面两个式子的组合，你将如鱼得水！